2019年高考数学总复习专练：函数与方程

　　高考数学总复习:函数与方程

　　函数与方程

　　考点一、零点所在区间问题

　　1.(1)下列关于函数 的说法正确的是（     ）

　　内均有零点              在区间 内均无零点

　　在 内有零点，在 内无零点         在 内无零点，在 内有零点

　　解：选D。 =  令f '(x)=0 得x=3，则0＜x＜3时f(x)为减函数，

　　x＞3时，f(x)为增函数，f(x)在x=3处取得最小值f(3)=1-ln3＜0，f( )= +1＞0 ，f(1)= ＞0，f(e)= -1＜0 ，所以在区间（ ，1）内无零点，在区间（1，e)内有零点。

　　（2）已知函数f(x)＝(12)x－x13 ，在下列区间中，含有函数f(x)零点的是(　　)

　　A．(0，13)　　　 　B．(13，12)         C．(12，1)          D．(1,2)

　　解：f(0)＝1>0，f(13)＝(12)13 －(13)13 >0，f(12)＝(12)12 －(12)13 <0，∵f(13)·f(12)<0，且函数f(x)的图象为连续曲线，∴函数f(x)在(13，12)内有零点．

　　（3)函数f(x)=ax+1-2a在区间（-1,1）上存在一个零点，求a的取值范围。

　　解：由题的f（-1）f(1)<0,即（-3a+1)（1-a)<0.，则13<a<1.

　　考点二、二分法

　　2.设

　　（1）证明方程 在区间 内有实数解；（2）使用二分法，取区间的中点3次，指出方程 的实数解 在哪个较小的区间内

　　解：（1）函数 的图象是连续曲线 ，因为 ，

　　所以 所以方程 在区间 内有实数解

　　（2）①取区间 的中点1，这时 因为 ，所以    所以 ②取区间 的中点 ，这时   因为 ，所以 所以

　　③取区间 的中点 ，这时 由以上分析可知

　　考点三、方程的根与零点个数问题

　　3.(1)函数f(x)= 的零点个数为(   )  A。0      B。1    C。2        D。3

　　解:当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1(舍去),当x> 0时,令-2+ln x=0,解得x=e2,所以函数f(x)有2个零点,故选C .

　　(2)函数f(x)=xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为(　 　)A。4       B。5     C。6    D。7

　　解:令f(x)=0,得x=0或cos x2=0,因为x∈[0,4],所以x2∈[0,16].由于cos =0(k∈Z),故当x2= , , , , 时,cos x2=0.所以零点个数为6.故选C.

　　(3)函数f(x)=ex+3x的零点个数是(　　)   A.0        B。1       C。2          D。3

　　解:知f(x)=ex+3x在R上 单调递增,又∵f(-1)= e-1-3<0,f(1)=e+3>0,∴函数只有一个零点。

　　(4)函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内零点的个数为(　　)A．0　　B．1　　C．2　　D．3

　　解：在同一坐标系内作出函数y＝|x－2|与y＝lnx的图象，∵lne＝1，e<3，∴由图象可见两函数图象有两个交点，∴函数f(x)有两个零点．

　　(5)若定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，函数g(x)＝log3 x－1 　 x>1 2x   x≤1 ，则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数为(　　)

　　A．9　　　　B．8　　　　C．7　　　　D．6

　　解：∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f(x)，又x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，∴f(x)的图象如图所示，在同一坐标系中作出函数g(x)的图象，可见y＝f(x)(－5≤x≤5)与y＝2x(x≤1)有5个交点，y＝f(x)(－5≤x≤5)与y＝log3(x－1)(x>1)的图象有3个交点，∴共有8个交点．

　　（6已知f(x)是R上奇函数，且周期为3，当 时，f(x)= ,求f(x)在 上的零点个数。

　　解：由已知f(0)=0,f(2)=f(-1)=-f(1）=0， ，由图像知：f(x)在 上有9个零点。

　　考点四、函数零点的转化思想问题

　　(1)已知a是函数f(x)＝2x－ 的零点，若0<x0<a，则f( )的值满足(　　)

　　A．f(x0)＝0        B．f(x0)<0        C．f(x0)>0         D．f(x0)的符号不确定

　　解：分别作出y＝2x与y＝log12x的图象如图，当0<x0<a时，y＝2x的图象在y＝log12x图象的下方，所以，f(x0)<0.

　　(2)已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－x－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(　　)A．x1<x2<x3      B．x2<x1<x3          C．x1<x3<x2      D．x3<x2<x1

　　解：令f(x)＝x＋2x＝0，因为2x恒大于零，所以要使得x＋2x＝0，x必须小于零，即x1小于零；令g(x)＝x＋lnx＝0，要使得lnx有意义，则x必须大于零，又x＋lnx＝0，所以lnx<0，解得0<x<1，即0<x2<1；令h(x)＝x－x－1＝0，得x＝x＋1>1，即x3>1，从而可知x1<x2<x3.

　　(3)方程y＝x2－|x|＋a－1有四个零点，求a的取值范围。

　　解：设f（x）=x2-│x│，直线y=1-a与f（x）有四个交点,由函数图像可知 ,得a∈（1， ）∴a取值范围为（1， ）。

　　考点五。二次函数零点的分布问题

　　5.(1)若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围。

　　解：设两根分别为A， B，0<A<1;1<B<2根据伟达定理得：A+B=-（k-2） A*B=2k-1

　　1<A+B=-（k-2）<30<A*B=2k-1<2解不等式组，得出答案 1/2<k<1

　　(2)若关于x的方程3tx2＋(3－7t)x＋4＝0的两个实根α，β满足0<α<1<β<2，求实数t的取值范围．

　　解：令f(x)=3tx^2+(3-7t)x+4，0＜α＜1＜β＜2，所以f(0)*f(1)<0，f(1)*f(2)<0，

　　所以4*(3t+3-7t+4)<0，(3t+3-7t+4)(12t+6-14t+4)<0，由4*(3t+3-7t+4)<0

　　得到-4t+7<0，t> 。由(3t+3-7t+4)(12t+6-14t+4)<0得到(-4t+7)(-2t+10)<0，(4t-7)(2t-10)<0，所以 <t<5

　　(3)已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1在原点右侧至少有一个零点，求实数m的取值范围．

　　解：1)m=0,易知成立2）m不等于0，（m-3)^2-4m=0,得m=1或9,

　　当m=1时，解得x=1,符合当m=9时，解得x=-1/3,不符合，舍去

　　3)a.有一个零点，则（m-3)^2-4m>0,1/m<0,得m<0

　　.b.有两个零点，则(m-3)^2-4m>0,(3-m)/m>0,1/m>0,得0<m<1

　　综上，得m的取值范围为（ ，1]