2019年高考数学总复习专练:函数的奇偶性
来源:网络资源 2018-10-19 19:37:17
高考数学总复习:奇偶性
函数的奇偶性
奇+奇=奇; 偶+偶=偶; 奇*奇=偶; 偶*偶=偶;
考点一、函数的奇偶性定义
(1)下面四个结论:①偶函数的图象一定与y轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③偶函数的图象关于y轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0,其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解:偶函数的图象关于y轴对称,但不一定相交,因此③正确,①错误;奇函数的图象关于原点对称,但不一定经过原点,因此②不正确;若y=f(x)既是奇函数,又是偶函数,由定义可得f(x)=0,但不一定x∈R,故④错误,选A.
(2) , 是定义在R上的函数, ,则" , 均为偶函数"是" 为偶函数"的( )
A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解:∵f(x)、g(x)均为偶函数,∴f(-x)=f(x),g(-x)=g(x).∴h(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=h(x).∴h(x)为偶函数.但若h(-x)=h(x),即f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x), 不一定f(-x)=f(x),g(-x)=g(x),
例f(x)=x2+x,g(x)=-x.
考点二、已知函数解析式,判断或证明函数的奇偶性
2.判断下列各函数的奇偶性:
(1)f(x)= . (2) ;
解:(1)f(-x)=-(-x)?+2|-x|=-x?+2|x|,则f(x)=f(-x),故函数是偶函数。
(2) 函数的定义域为R,
当 时,
当 时,
当 时,
综上可知,对于任意的实数x,都有 ,所以函数 为奇函数。
(3) ; 偶函数 (4) ; 奇函数
(5) ; 非奇非偶
(6) ; (7) ; (8) ;
解:(6)由 ,得定义域为 ,关于原点不对称,∴ 为非奇非偶函数
(7)由 定义域为 ,∴ ,
∵ ∴ 为偶函数。
(8)定义域为R,
,∴ f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数。
考点三、抽象函数奇偶性的判定与证明
(1)已知函数 对一切 ,都有 ,判断f(x)奇偶性。
解: 的定义域是 ,它关于原点对称.在 中,
令 ,得 ,令 ,得 ,∴ ,
∴ ,即 , ∴ 是奇函数.
考点四、利用奇偶性求解析式及值
(1)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)= ,求f(1).
解:f(1)=-f(-1)=1.
(2) 已知f(x)和g(x)分别是偶函数和奇函数,且 ,求f(1)+g(1).
解:f(1)-g(-1)=3=f(1)+g(1),又f(-1)-g(1)=1=f(1)-g(1),则f(1)=2,g(1)=-1,故f(1)+g(1)=1。
(3)已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x|x-2|,求x<0时,f(x).
解:∵f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x|x-2|,∴当x<0时,f(x)=- f(-x)=- (-x)|(-x)-2|=x|x+2|.
(4)已知f(x)是R上的奇函数,且x∈(-∞,0)时,f(x)=-xlg(2-x),求f(x).
解:∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0.当x>0时,-x<0,f(-x)=xlg(2+x),即-f(x)=xlg(2+x),∴f(x)=-xlg(2+x).∴
考点五、利用奇偶性求参数值
(1)设函数 为奇函数,求a的值。
解: ∵f(1)=-f(-1) ∴a=-1.
(2)已知 是偶函数,定义域为 , 求 a,b的值。
解: , 。
(3)已知 ,求 的值。
解:令 为奇函数,则g(x)=f(x)-1,故g(-x)=f(-x)-1,
即g(-lg2)+g(lg2)=0,则f(-lg2)-1+f(lg2)-1=0,故 =2.
考点六.奇偶性与比大小
(1)已知偶函数 在 上为减函数,比较 , , 的大小。
解: 偶函数 在 上为减函数, 在 上为增函数,又 , ,又 , 。
(2)已知 为偶函数,比较 ,b= ,c=f(2m)大小。
解:a= ,c=f(0),由已知f(1)=f(-1),则m=0. ,画图得:c<a<b.
考点七.奇偶性与不等式
(1)若f(x)是偶函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,求f(x-1)<0的解集。
解:f(x)<0的解集:{x|-1<x<1},∴f(x-1)<0的解集为{x|0<x<2}.
(2) 函数f(x)是偶函数,在[0,+∞)增,求f(2x-1)<f( )的解集。
解:- <2x-1< ,则 。
(3) 函数f(x)是奇函数,在(0,+∞)增,且f(3)=0,求 的解集。
解:由已知:f(x)>0,则 。
(4)设f(x)=lg( )是奇函数,求使f(x)<0的x的取值范围。
解:∵f(0)=0得a=-1.∴f(x)= ,令f(x)<0,由两个单增函数则0< <1,∴x∈(-1,0).(5)设定义在[-2,2]上的偶函数 在区间[0,2] 上单调递减,若 ,求实数 的取值范围。
解: 又当 时, 是减函数
。
(6)已知f(x)为偶函数,在 单调递增,且 ,求a的取值范围。
解:由已知: ,即 ,由f(x)图像得: ,即 。
(7)已知 ,求使f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围。
解:f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)单调递增,则 ,故 。
(8)已知函数 是定义在R上的奇函数,若对任意t∈R,不等式f( -2t)+f(2 -k)<0恒成立,求实数k的取值范围。
解:由f(x)为奇函数,则 f(0)=0,f(-1)=-f(1),得a=2, b=1 。
f(x)= ,令 ,则f(x)是递减函数, f( -2t)+f(2 -k)<0等价于f( -2t)<-f(2 -k) ,所以 -2t>k-2 ,k<3 -2t=3 恒成立,则k<- 。
(9)已知 ,求不等式f(3x+1)+f(x)>4的解集。
解:f(3x+1)-2+f(x)-2>0,令g(3x+1)+g(x)>0,即g(3x+1)>-g(x),
因g(x)= 为奇函数,且单调递增,则g(3x+1)>g(-x),又单调递增,则3x+1>-x,故 。
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