2019年高考数学总复习专练：函数的奇偶性

　　高考数学总复习:奇偶性

　　函数的奇偶性

　　奇+奇=奇；        偶+偶=偶；      奇*奇=偶；     偶*偶=偶；

　　考点一、函数的奇偶性定义

　　（1）下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0，其中正确命题的个数是(       )

　　A．1　　 B．2            C．3　　　 D．4

　　解：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误;奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确;若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x∈R，故④错误，选A．

　　（2） ， 是定义在R上的函数， ，则" ， 均为偶函数"是" 为偶函数"的（    ）

　　A.充要条件 B.充分而不必要条件     C.必要而不充分条件  D.既不充分也不必要条件

　　解:∵f(x)、g(x)均为偶函数,∴f(－x)=f(x),g(－x)=g(x).∴h(－x)=f(－x)+g(－x)=f(x)+g(x)=h(x).∴h(x)为偶函数.但若h(－x)=h(x),即f(－x)+g(－x)=f(x)+g(x), 不一定f(－x)=f(x),g(－x)=g(x),

　　例f(x)=x2+x,g(x)=－x.

　　考点二、已知函数解析式，判断或证明函数的奇偶性

　　2.判断下列各函数的奇偶性：

　　(1)f(x)= .                      (2)    ;

　　解：（1）f(-x)=-(-x)?+2|-x|=-x?+2|x|，则f(x)=f(-x)，故函数是偶函数。

　　(2) 函数的定义域为R，

　　当 时，

　　当 时，

　　当 时，

　　综上可知，对于任意的实数x，都有 ，所以函数 为奇函数。

　　(3)     ;    偶函数        （4） ；      奇函数

　　（5） ；      非奇非偶

　　（6） ； （7） ； (8) ；

　　解：（6）由 ，得定义域为 ，关于原点不对称，∴ 为非奇非偶函数

　　（7）由 定义域为 ，∴  ，

　　∵     ∴ 为偶函数。

　　（8）定义域为R，

　　，∴ f(－x)=－f(x)，所以f(x)为奇函数。

　　考点三、抽象函数奇偶性的判定与证明

　　（1）已知函数 对一切 ，都有 ，判断f(x)奇偶性。

　　解： 的定义域是 ，它关于原点对称．在 中，

　　令 ，得 ，令 ，得 ，∴ ，

　　∴ ，即 ， ∴ 是奇函数．

　　考点四、利用奇偶性求解析式及值

　　（1）已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)= ，求f(1).

　　解：f(1)=-f(-1)=1.

　　(2)    已知f(x)和g(x)分别是偶函数和奇函数，且 ，求f(1)+g(1).

　　解：f(1)-g(-1)=3=f(1)+g(1)，又f(-1)-g(1)=1=f(1)-g(1)，则f(1)=2，g(1)=-1，故f(1)+g(1)=1。

　　（3）已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x|x-2|，求x<0时，f(x).

　　解：∵f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x|x-2|，∴当x<0时，f(x)＝- f(-x)＝- (-x)|(-x)-2|=x|x+2|.

　　（4）已知f(x)是R上的奇函数，且x∈(－∞，0)时，f(x)=－xlg(2－x)，求f(x).

　　解：∵f(x)为奇函数，∴f(0)=0.当x＞0时，－x＜0，f(－x)=xlg(2+x)，即－f(x)=xlg(2+x)，∴f(x)=－xlg(2+x).∴

　　考点五、利用奇偶性求参数值

　　（1）设函数 为奇函数，求a的值。

　　解:  ∵f(1）=-f(-1) ∴a=－1.

　　（2）已知 是偶函数，定义域为 ，   求 a,b的值。

　　解：  ， 。

　　(3)已知 ，求 的值。

　　解：令 为奇函数，则g(x)=f(x)-1,故g(-x)=f(-x)-1,

　　即g（-lg2)+g(lg2)=0,则f(-lg2)-1+f(lg2)-1=0,故 =2.

　　考点六.奇偶性与比大小

　　（1）已知偶函数 在 上为减函数，比较 ， ， 的大小。

　　解： 偶函数 在 上为减函数， 在 上为增函数,又 ，  ，又 ， 。

　　（2）已知 为偶函数，比较 ，b= ,c=f(2m)大小。

　　解：a= ,c=f(0),由已知f(1)=f(-1),则m=0. ,画图得：c<a<b.

　　考点七.奇偶性与不等式

　　（1）若f(x)是偶函数，当x∈［0，+∞)时，f(x)=x－1，求f(x－1)＜0的解集。

　　解：f(x)＜0的解集：｛x｜－1＜x＜1｝，∴f(x－1)＜0的解集为｛x｜0＜x＜2｝.

　　(2)    函数f(x)是偶函数，在［0，+∞)增，求f(2x－1)＜f( )的解集。

　　解：- <2x－1< ,则 。

　　(3)    函数f(x)是奇函数，在（0，+∞)增，且f(3)=0,求 的解集。

　　解：由已知:f(x)>0,则 。

　　（4）设f（x）=lg（ ）是奇函数，求使f（x）＜0的x的取值范围。

　　解:∵f(0)=0得a=－1.∴f(x)= ，令f(x)＜0,由两个单增函数则0＜ ＜1,∴x∈(－1,0).（5）设定义在[-2,2]上的偶函数 在区间[0,2] 上单调递减，若 ，求实数 的取值范围。

　　解：  又当 时， 是减函数

　　。

　　（6）已知f(x)为偶函数，在 单调递增，且 ，求a的取值范围。

　　解：由已知： ，即 ，由f(x)图像得： ，即 。

　　（7）已知 ，求使f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围。

　　解：f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)单调递增，则 ，故 。

　　（8）已知函数 是定义在R上的奇函数，若对任意t∈R,不等式f( -2t)+f(2 -k)<0恒成立，求实数k的取值范围。

　　解：由f(x）为奇函数，则 f(0)=0,f(-1)=-f(1),得a=2， b=1 。

　　f(x)= ，令 ，则f(x)是递减函数, f( -2t)+f(2 -k)<0等价于f( -2t)<-f(2 -k) ,所以 -2t>k-2  ，k<3 -2t=3 恒成立，则k<- 。

　　（9）已知 ，求不等式f(3x+1)+f(x)>4的解集。

　　解：f(3x+1)-2+f(x)-2>0,令g(3x+1)+g(x)>0,即g（3x+1)>-g(x),

　　因g(x)= 为奇函数，且单调递增，则g(3x+1)>g(-x),又单调递增，则3x+1>-x,故 。