2019年高考一轮复习数学知识点：压轴题第二问详解
来源：网络资源 2018-10-19 20:14:54
数学高考适应性测试压轴题第二问的简化证明
21．（本小题满分12分）设函数 （ ）．
（1）求 的单调区间；（2）求 的零点个数；
（3）证明：曲线 没有经过原点的切线．
关于第二问的简化解答如下【原创】
解
知故 在 内有且仅有一个零点
综合【1】，【2】得， 当 时， 有且仅有一个零点。
资料来源--学科网，天利38套
原参考解答【解析】（1） 的定义域为 ， ．令 ，得 ．
当 ，即 时， ，∴ 在 内单调递增．
当 ，即 时，由 解得
， ，且 ，
在区间 及 内, ，在 内， ，
∴ 在区间 及 内单调递增，在 内单调递减．
（2）由（1）知，当 时， 在 内单调递增，
∴ 最多只有一个零点．
又∵ ，∴当 且 时， ；
当 且 时， ，故 有且仅有一个零点．
当 时，∵ 在 及 内单调递增，在 内单调递减，
且
，而 ，
（∵ ），
∴ ，由此知 ，
又∵当 且 时， ，故 在 内有且仅有一个零点．
综上所述，当 时， 有且仅有一个零点．
（3）假设曲线 在点 （ ）处的切线经过原点，
则有 ，即 ，
化简得： （ ）．（*）
记 （ ），则 ，
令 ，解得 ．当 时， ，当 时， ，
∴ 是 的最小值，即当 时， ．
由此说明方程（*）无解，∴曲线 没有经过原点的切线．
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