2019年高考数学总复习专练：函数值域

　　高考数学总复习：函数值域

　　考点一：图像法

　　（1）求下列函数的值域：

　　（1）函数y＝f(x)的图象如图所示，则定义域为________，值域为________．

　　解：函数y＝f(x)的定义域为[－6,0]∪[3,7)，值域为[0，＋∞)．

　　(2)若 有意义，y＝x2－6x＋7；

　　解：x－2≥0，即x≥2.又∵y＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2，∴ymin＝(3－3)2－2＝－2，∴其值域为[－2，＋∞)．

　　(3)y＝x2＋2x，x∈[-2,3]；    (4)  y＝x＋4x，x∈[1,5]；

　　解：(3)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∵0≤x≤3，∴1≤x＋1≤4.∴1≤(x＋1)2≤16.∴0≤y≤15，即函数y＝x2＋2x(x∈[-2,3])的值域为[-1,15]．

　　(4)由对号函数图象得值域为：[4, ]。

　　（5） （零点分段法）；   解： ，值域： 。

　　考点二。换元法(y=一次函数+ ）

　　（1）y= ;

　　解：令 。

　　（2）y= ;

　　解：令 。

　　考点三：分离常数法

　　(1)分子=分母

　　解：由已知有  .由 ，得 .

　　∴ .∴函数 的值域为 .

　　(2）分子》分母       设 ，求函数 的最小值.

　　解  ∵ ，∴ .由已知有    .当且仅当 ，即 时，等号成立.∴当 时， 取得最小值 .

　　（3）分子《分母    设x>2,求函数 的值域.

　　解： = =

　　= = .故单调递减，则值域为y (- .

　　考点四：复合函数法

　　(1)若函数f(x)的值域是12，3，求F(x)＝f(x)＋ 的值域。

　　解：令t＝f(x)，则12≤t≤3.易知函数g(t)＝t＋1t在区间12，1上是减函数，在[1,3]上是增函数．又因为g12＝52，g(1)＝2，g(3)＝103.可知函数F(x)＝f(x)＋1f?x?的值域为2，103.

　　(2)y＝log3x＋logx3－1，x （1,3]

　　解：y＝log3x＋1log3x－1，令log3x＝t，则y＝t＋1t－1(t≠0)，

　　当x [1,3]时，t （0,1]，y≥2 t·1t－1＝1，当且仅当t＝1t即log3x＝1，x＝3时，等号成立；综上所述，函数的值域是[1，＋∞).

　　（3）y= , x [-2,0]

　　解：设t=1-2x- ,得t [1,2]，所以y [-1,0).

　　(4)y= ,x [-1,1]

　　解：令 =t(t>0) ，y=-t?+4t ，t [ ,2],y [ ,4].

　　考点五。求参数

　　（1）若函数f(x)＝1x－1在区间[a，b]上的值域为13，1，则a＋b＝________.

　　解：∵由题意知x－1>0，又x∈[a，b]，∴a>1.则f(x)＝1x－1在[a，b]上为减函数，

　　则f(a)＝1a－1＝1且f(b)＝1b－1＝13，∴a＝2，b＝4，a＋b＝6.

　　（2)已知 有最小值，求a的取值范围。

　　解：由已知令 有最小值，则只须 单调递增，即a>1,又 >0恒成立,则 ，故 ；

　　（3）设函数  ①若a=0，则f(x)的最大值为__________；\

　　②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是_________________。

　　解：（1） ,由图象知：f(x)=f(-1)=2;

　　(2) 交于（-1,2）点，由分段函数图象，当a,》-1,最大值在三次函数极值点处取，最大为2；当a<-1时，无最大值。故a<-1.

　　陕西省2018年高考数学总复习：专题二  函数值域

　　考点一：图像法

　　（1）求下列函数的值域：

　　（1）函数y＝f(x)的图象如图所示，则定义域为________，值域为________．

　　解：函数y＝f(x)的定义域为[－6,0]∪[3,7)，值域为[0，＋∞)．

　　(2)若 有意义，y＝x2－6x＋7；

　　解：x－2≥0，即x≥2.又∵y＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2，∴ymin＝(3－3)2－2＝－2，∴其值域为[－2，＋∞)．

　　(3)y＝x2＋2x，x∈[-2,3]；    (4)  y＝x＋4x，x∈[1,5]；

　　解：(3)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∵0≤x≤3，∴1≤x＋1≤4.∴1≤(x＋1)2≤16.∴0≤y≤15，即函数y＝x2＋2x(x∈[-2,3])的值域为[-1,15]．

　　(4)由对号函数图象得值域为：[4, ]。

　　（5） （零点分段法）；   解： ，值域： 。

　　考点二。换元法(y=一次函数+ ）

　　（1）y= ;

　　解：令 。

　　（2）y= ;

　　解：令 。

　　考点三：分离常数法

　　(1)分子=分母

　　解：由已知有  .由 ，得 .

　　∴ .∴函数 的值域为 .

　　(2）分子》分母       设 ，求函数 的最小值.

　　解  ∵ ，∴ .由已知有    .当且仅当 ，即 时，等号成立.∴当 时， 取得最小值 .

　　（3）分子《分母    设x>2,求函数 的值域.

　　解： = =

　　= = .故单调递减，则值域为y (- .

　　考点四：复合函数法

　　(1)若函数f(x)的值域是12，3，求F(x)＝f(x)＋ 的值域。

　　解：令t＝f(x)，则12≤t≤3.易知函数g(t)＝t＋1t在区间12，1上是减函数，在[1,3]上是增函数．又因为g12＝52，g(1)＝2，g(3)＝103.可知函数F(x)＝f(x)＋1f?x?的值域为2，103.

　　(2)y＝log3x＋logx3－1，x （1,3]

　　解：y＝log3x＋1log3x－1，令log3x＝t，则y＝t＋1t－1(t≠0)，

　　当x [1,3]时，t （0,1]，y≥2 t·1t－1＝1，当且仅当t＝1t即log3x＝1，x＝3时，等号成立；综上所述，函数的值域是[1，＋∞).

　　（3）y= , x [-2,0]

　　解：设t=1-2x- ,得t [1,2]，所以y [-1,0).

　　(4)y= ,x [-1,1]

　　解：令 =t(t>0) ，y=-t?+4t ，t [ ,2],y [ ,4].

　　考点五。求参数

　　（1）若函数f(x)＝1x－1在区间[a，b]上的值域为13，1，则a＋b＝________.

　　解：∵由题意知x－1>0，又x∈[a，b]，∴a>1.则f(x)＝1x－1在[a，b]上为减函数，

　　则f(a)＝1a－1＝1且f(b)＝1b－1＝13，∴a＝2，b＝4，a＋b＝6.

　　（2)已知 有最小值，求a的取值范围。

　　解：由已知令 有最小值，则只须 单调递增，即a>1,又 >0恒成立,则 ，故 ；

　　（3）设函数  ①若a=0，则f(x)的最大值为__________；\

　　②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是_________________。

　　解：（1） ,由图象知：f(x)=f(-1)=2;

　　(2) 交于（-1,2）点，由分段函数图象，当a,》-1,最大值在三次函数极值点处取，最大为2；当a<-1时，无最大值。故a<-1.