高三模拟文科数学试题之函数的性质
来源:网络资源 2018-10-19 20:57:04
高三模拟文数试题专题函数汇编之函数的性质含解析
一、解答题(本大题共82小题,共984.0分)
1.已知函数f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)记函数g(x)=10f(x)+2x,求函数g(x)的值域.
2.设函数f(x)是增函数,对于任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求f(0);
(2)证明f(x)奇函数;
(3)解不等式 f(x2)-f(x)> f(3x).
3.已知实数a<0,函数 .
(1)设 ,求t的取值范围;
(2)将f(x)表示为t的函数h(t);
(3)若函数f(x)的最大值为g(a),求g(a).
4.已知函数f(x)是定义在[-e,0]∪(0,e]上的奇函数,当x∈[-e,0)时,有f(x)=ax-ln(-x)(其中e为自然对数的底,a∈R).
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)试问是否存在实数a,使得当x∈(0,e]时,f(x)的最大值是2?如果存在,求出实数a的值;如果不存在,请说明理由.
5.已知函数
(1)求函数f(x)的定义域.
(2)若函数f(x)<0,求x得取值范围.
6.已知函数f(x)= ,且f(-2)=3,f(-1)=f(1).
(Ⅰ)求f(x)的解析式,并求f(f(-2))的值;
(Ⅱ)请在给定的直角坐标系内,利用"描点法"画出y=f(x)的大致图象.
7.今有一长2米宽1米的矩形铁皮,如图,在四个角上分别截去一个边长为x米的正方形后,沿虚线折起可做成一个无盖的长方体形水箱(接口连接问题不考虑).
(Ⅰ)求水箱容积的表达式f(x),并指出函数f(x)的定义域;
(Ⅱ)若要使水箱容积不大于4x3立方米的同时,又使得底面积最大,求x的值.
8.二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(4)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在区间[2a,3a+1]上单调,求a的取值范围.
9.函数f(x)是R上的偶函数,且当x>0时,函数的解析式为f(x)=
(1)求f(-1)的值;
(2)用定义证明f(x)在(0,+∞)上是减函数;
(3)求当x<0时,函数的解析式.
10.已知f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(4)=1,对任意x1,x2(0,+∞),都有f(x1ox2)=f(x1)+f(x2),当x∈(0,1)时,f(x)<0.
(1)求f(1);
(2)证明f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)解不等式f(3x+1)+f(2x-6)≤3.
11.已知函数f(x),g(x)满足关系g(x)=f(x)of(x+a),其中a是常数.
(1)若f(x)=cosx+sinx,且a= ,求g(x)的解析式,并写出g(x)的递增区间;
(2)设f(x)=2x+ ,若g(x)的最小值为6,求常数a的值.
12.已知函数f(x)=xm- ,且f(4)=3.
(1)求m的值;
(2)求f(x)的奇偶性.
13.已知函数f(x)= .
(I)求f(0),f(1);
(II)求f(x)值域.
14.某种商品每件进价9元,售价20元,每天可卖出69件.若售价降低,销售量可以增加,且售价降低x(0≤x≤11)元时,每天多卖出的件数与x2+x成正比.已知商品售价降低3元时,一天可多卖出36件.
(Ⅰ)试将该商品一天的销售利润表示成x的函数;
(Ⅱ)该商品售价为多少元时一天的销售利润最大?
15.若0满足f(f(x0)=x0但f(x0)≠x0,则x0为f(x)的阶周期点函数有仅有两个二阶周期点,并二阶周点,x2;
当a= 时,求ff( ));
对于中x1,2,设(x1f(f(x1),B(x2,f(fx2)))C(a2,,记△ABC面积为s求s区[ , ]上的大和最小值.
16.如图,△OAB是边长为2的正三角形,记△OAB位于直线x=t(t>0)左侧的图形的面积为f(t).试求函数f(t)的解析式,并画出函数y=f(t)的图象.
17.已知函数f(x)=loga(x-1),g(x)=loga(6-2x)(a>0且a≠1).
(1)求函数φ(x)=f(x)+g(x)的定义域;
(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围.
18.某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在图中的两条线段上(如图).该股票在30天内(包括第30天)的日交易量Q(万股)与时间t(天)的函数关系式为Q=40-t(0≤t≤30且t∈N).
(1)根据提供的图象,求出该种股票每股的交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式;
(2)用y(万元)表示该股票日交易额(日交易额=日交易量×每股的交易价格),写出y关于t的函数关系式,并求出这30天中第几天日交易额最大,最大值为多少.
19.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且x<0时,f(x)=1+2x
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)画出函数f(x)的图象;
(3)写出函数f(x)单调区间及值域.
20.已知函数f(x)= 的定义域为集合A,函数g(x)= 的定义域为集合B.
(1)求集合A、B;
(2)若A∩B=A,求实数a的取值范围.
21.(理)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=2.
(1)求f( )和f( )+f( )(n∈N*)的值;
(2)数列f(x)满足an=f(0)+f( )+f( )+…+f( )+f(1),(n∈N*)求证:数列{an}是等差数列;
(3)bn= ,Sn= ,Tn=b12+b22+b32+…+bn2,试比较Tn与Sn的大小.
22.已知函数y=f(x)满足以下条件:①定义在正实数集上;②f( )=2;③对任意实数t,都有f(xt)=tof(x)(x∈R+).
(1)求f(1),f( )的值;
(2)求证:对于任意x,y∈R+,都有f(xoy)=f(x)+f(y);
(3)若不等式f(loga(x-3a)-1)-f(- )≥-4对x∈[a+2,a+ ]恒成立,求实数a的取值范围.
23.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当 时,f(x)=sinx
(1)求当x∈[-π,0]时f(x)的解析式
(2)画出函数f(x)在[-π,π]上的函数简图
(3)求当 时,x的取值范围.
24.已知f(x)是二次函数,其函数图象经过(0,2),y=f(x+1)当x=0时取得最小值1.
(1)求f(x)的解析式.
(2)求f(x)在[k,k+1]上的最小值.
25.已知a∈R,函数f(x)=x|x-a|.
(Ⅰ)当a=2时,作出图形并写出函数y=f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)当a=-2时,求函数y=f(x)在区间 的值域;
(Ⅲ)设a≠0,函数f(x)在(m,n)上既有最大值又有最小值,请分别求出m、n的取值范围(用a表示).
26.设函数f(x)=x+ (x∈(-∞,0)∪(0,+∞))的图象为c1,c1关于点A(2,1)的对称图象为c2,c2对应的函数为g(x).
(1)求函数g(x)的解析式,并确定其定义域;
(2)若直线y=b与c2只有一个交点,求b的值,并求出交点坐标.
27.定义域为R的函数f(x)满足:对任意的m,n∈R有f(m+n)=f(m)of(n),且当x≥0时,有0<f(x)<1,f(4)= .
(1)求f(0)的值;
(2)证明:f(x)>0在R上恒成立;
(3)证明:f(x)在R上是减函数;
(4)若x>0时,不等式f(x+ax)>f(2+x2)恒成立,求实数a的取值范围.
28.已知:函数f(x)=lg(1-x)+lg(p+x),其中p>-1
(1)求f(x)的定义域;
(2)若p=1,当x∈(-a,a]其中a∈(0,1),a是常数时,函数f(x)是否存在最小值,若存在,求出f(x)的最小值;若不存在,请说明理由.
29.某房地产公司要在荒地ABCDE上划出一块矩形地面DRPQ建造一幢公寓.
(Ⅰ)求边AB所在的直线的方程;
(Ⅱ)问如何设计才能使公寓占地面积最大?并求出最大面积.
30.已知函数f(x)=log2[1+2x+ao(4x+1)]
(1)a=-1时,求函数f(x)定义域;
(2)当x∈(-∞,1]时,函数f(x)有意义,求实数a的取值范围;
(3)a=- 时,函数y=f(x)的图象与y=x+b(0≤x≤1)无交点,求实数b的取值范围.
31.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且x≤0时,f(x)=log (-x+1)
(1)求f(3)+f(-1)
(2)求函数f(x)的解析式;
(3)若f(a-1)<-1,求实数a的取值范围.
32.已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调递减,且满足f(xoy)=f(x)+f(y),f(2)=1,
(1)求f(1)的值;
(2)解不等式f(-x)+f(3-x)≥2.
33.已知y=f(x)是定义在[-6,6]上的奇函数,它在[0,3]上是一次函数,在[3,6]上是二次函数,当x∈[3,6]时,f(x)≤f(5)=3,又f(6)=2.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)若f(x)-a2-4a≥0恒成立,求a的取值范围.
34.定义域在R的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),且f(3)=6,
(Ⅰ)求f(0),f(1);
(Ⅱ)判断函数f(x)的奇偶性,并证明;
(Ⅲ)若对于任意 都有f(kx2)+f(2x-1)<0成立,求实数k的取值范围.
35.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且f(xy)=f(x)+f(y),
(1)求f(1)的值;
(2)若f( )=-1,求满足f(x)-f( )≥2的x的取值范围.
36.在边长为2的正方形ABCD的边上有动点M,从点B开始,沿折线BCDA向A点运动,设M点运动的距离为x,△ABM的面积为S.
(1)求函数S=f(x)的解析式、定义域和值域;
(2)求f[f(3)]的值.
37.定义在R上的函数f(x)满足:
①f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy;
② .
(1)求 的值;
(2)若函数g(x)= ,求函数g(x)的最大值.
38.已知函数f(x)=|2x|,现将y=f(x)的图象向右平移一个单位,再向上平移一个单位得到函数h(x)的图象.
(1)求函数h(x)的解析式;
(2)函数y=h(x)的图象与函数g(x)=kx2的图象在 上至少有一个交点,求实数k的取值范围.
39.函数f(x)对于任意的a,b∈R均有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当x>0时,f(x)>1成立.
(1)求证为R上的增函数;
(2)若 对一切满足 的m恒成立,求实数x的取值范围.
40.已知函数f(x)的定义域为0,1],且f(x)的图象连续不间断.若函数f(x)满足:对于给定的m (m∈R且0<m<1),存在x0∈[0,1-m],使得f(x0)=f(x0+m),则称f(x)具有性质P(m).
(1)已知函数f(x)= ,若f(x)具有性质P(m),求m最大值;
(2)若函数f(x)满足f(0)=f(1),求证:对任意k∈N*且k≥2,函数f(x)具有性质P( ).
41.已知函数f(x)的定义域D?(0,+∞),若f(x)满足对任意的一个三边长为a,b,c∈D的三角形,都有f(a),f(b),f(c)也可以成为一个三角形的三边长,则称f(x)为"保三角形函数".
(1)判断g(x)=sinx,x∈(0,π)是否为"保三角形函数",并说明理由;
(2)证明:函数h(x)=lnx,x∈[2,+∞)是"保三角形函数";
(3)若f(x)=sinx,x∈(0,λ)是"保三角形函数",求实数λ的最大值.
42.函数y=a (a∈R),设t= ( ≤t≤2).
(1)试把y表示成关于t的函数m(t);
(2)记函数m(t)的最大值为g(a),求g(a);
(3)当a≥- 时,试求满足 的所有实数a的值.
43.如图,已知底角为45°角的等腰梯形ABCD,底边BC长为7cm,腰长为2 cm,当一条垂直于底边BC(垂足为F)的直线l把梯形ABCD分成两部分,令BF=x,求左边部分的面积y关于x的函数解析式,并画出图象.
44.已知函数f(x)=
(1)若m∈(-2,2),求函数y=f(x)的单调区间;
(2)若m∈(0, ],则当x∈[0,m+1]时,函数y=f(x)的图象是否总在直线y=x上方,请写出判断过程.
45.已知函数 .
(1)求f(x)的定义域和值域;
(2)证明函数 在(0,+∞)上是减函数.
46.已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx+2,其中a≤2.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若不等式f(x)≥0在x∈[1,2]上恒成立,求实数a的取值范围.
47.已知函数f(x)=(a2-3a+3)ax是指数函数,
(1)求f(x)的表达式;
(2)判断F(x)=f(x)-f(-x)的奇偶性,并加以证明
(3)解不等式:loga(1-x)>loga(x+2)
48.求证:函数 在区间(0,+∞)上是增函数.
49.函数f(x)=x2-4x-4在区间[t,t+1](t∈R)上的最小值记为g(t).
(1)试写出g(x)的函数表达式;
(2)求g(t)的最小值.
50.已知函数f(x)=|x-a|-|x-3|.
(1)若a=-1,解不等式f(x)≥2;
(2)若存在实数x,使得 成立,试求a的取值范围.
51.已知函数f(x2-1)=logm .
(1)求f(x)的解析式并判断f(x)的奇偶性;
(2)解关于 x的不等式 f(x)≤0.
52.已知定义域为R的函数f(x)= 是奇函数.
(1)求实数a的值,并判断f(x)的单调性(不用证明);
(2)已知不等式f(logm )+f(-1)>0恒成立,求实数m的取值范围.
53.已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=ax,(a∈R).
(1)若a=1,求方程f(x)=g(x)的解;
(2)若方程f(x)=g(x)有两解,求出实数a的取值范围;
(3)若a>0,记F(x)=g(x)f(x),试求函数y=F(x)在区间[1,2]上的最大值.
54.对于定义在[0,+∞)上的函数f(x),若函数y=f(x)-(ax+b)满足:①在区间[0,+∞)上单调递减;②存在常数p,使其值域为(0,p],则称函数g(x)=ax+b为f(x)的"渐近函数"
(1)证明:函数g(x)=x+1是函数f(x)= ,x∈[0,+∞)的渐近函数,并求此时实数p的值;
(2)若函数f(x)= ,x∈[0,+∞)的渐近函数是g(x)=ax,求实数a的值,并说明理由.
55.已知函数f(x)=|x-2|+|x+1|.
(Ⅰ)解不等式f(x)>5;
(Ⅱ)若f(x)≥ - 对任意实数x恒成立,求a的取值范围.
56.已知函数f(x)=1+ ,且f(1)=2,
(1)求m的值;
(2)试判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用定义加以证明.
57.已知函数f(x)= + ,
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性.
58.已知:在函数的图象上,f(x)=mx3-x以N(1,n)为切点的切线的倾斜角为 .
(I)求m,n的值;
(II)是否存在最小的正整数k,使得不等式f(x)≤k-1993对于x∈[-1,3]恒成立?如果存在,请求出最小的正整数k,如果不存在,请说明理由.
59.设函数f(x)=|2x+2|-|x-2|.
(Ⅰ)求不等式f(x)>2的解集;
(Ⅱ)若?x∈R,f(x)≥m恒成立,求实数m的取值范围.
60.已知函数f(x)=|x-a|- x,(a>0).
(Ⅰ)若a=3,解关于x的不等式f(x)<0;
(Ⅱ)若对于任意的实数x,不等式f(x)-f(x+a)<a2+ 恒成立,求实数a的取值范围.
61.已知关于x的不等式|x-3|+|x-m|≥2m的解集为R.
(Ⅰ)求m的最大值;
(Ⅱ)已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=m,求4a2+9b2+c2的最小值及此时a,b,c的值.
62.设函数 为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)判断函数f(x)在区间(a+1,+∞)上的单调性,并用定义法证明.
63.设函数f(x)=|x-1|+|x-2|.
(1)解不等式f(x)>3;
(2)若f(x)>a对x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
64.已知:函数 ,且f(1)=0
(1)求m的值和函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性并说明理由;
(3)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用定义加以证明.
65.设函数 且 .
(1)求f(x)的解析式并判断函数f(x)的奇偶性;
(2)判断函数f(x)在区间(1,+∞)上单调性,并用定义法证明.
66.已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].
(1)当a=-1时,求函数的最大值和最小值;
(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上不是单调函数;并求函数的最大值.
67.已知函数f(x)=x2-4x+a+3,a∈R;
(1)若函数y=f(x)在[-1,1]上存在零点,求a的取值范围;
(2)设函数g(x)=bx+5-2b,b∈R,当a=3时,若对任意的x1∈[1,4],总存在x2∈[1,4],使得g(x1)=f(x2),求b的取值范围.
68.设函数f(x)=|x2-4x-5|.
(1)在区间[-2,6]上画出函数f(x)的图象;
(2)设集合A={x|f(x)≥5},B=(-∞,-2]∪[0,4]∪[6,+∞).试判断集合A和B之间的关系(要写出判断过程);
(3)当k>2时,求证:在区间[-1,5]上,y=kx+3k的图象位于函数f(x)图象的上方.
69.已知函数f(x)=lnx-a(x-1),a∈R
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)当x≥1时,f(x)≤ 恒成立,求a的取值范围.
70.设
(Ⅰ)判断函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)是否存在实数a,使得关于x的不等式ln(1+x)<ax在(0,+∞)上恒成立,若存在,求出a的取值范围,若不存在,试说明理由;
(Ⅲ)求证: (其中e为自然对数的底数).
71.已知函数 .
(1)求函数f(x)在x=e处的切线方程;
(2)若至少存在一个x0∈[1,e]使f(x0)<g(x0)成立,求实数a的取值范围;
(3)设k∈Z且f(x)>(k-3)x-k+2在x>1时恒成立,求整数k的最大值.
72.设f(x)=x2-(t+1)x+t(t,x∈R).
(1)当t=3时,求不等式f(x)>0的解集;
(2)已知f(x)≥0对一切实数x成立,求t的值.
73.已知函数 ,且f(1)=2
(1)判断f(x)的奇偶性,并证明;
(2)判断f(x)在(1,+∞)上的单调性,并证明;
(3)若f(a)>2,求a的取值范围.
74.已知函数f(x)=-x2+ax+1-lnx.
(Ⅰ)当a=3时,求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)若f(x)在区间(0, )上是减函数,求实数a的取值范围.
75.已知函数f(x)= .
(1)若a=2,利用定义法证明:函数f(x)在(-∞,-1)上是增函数;
(2)若函数f(x)在区间(-∞,-1)上是减函数,求实数a的取值范围.
76.已知函数f(x)=x+ ,且f(1)=10.
(1)求a的值;
(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论.
77.出定义在(0,+∞)上的三个函数:f(x)=lnx,g(x)=x2-af(x), ,已知g(x)在x=1处取极值.
(Ⅰ)确定函数h(x)的单调性;
(Ⅱ)求证:当1<x<e2时,恒有 成立;
(Ⅲ)把函数h(x)的图象向上平移6个单位得到函数h1(x)的图象,试确定函数y=g(x)-h1(x)的零点个数,并说明理由.
78.已知g(x)=x2-2ax+1在区间[1,3]上的值域[0,4].
(1)求a的值;
(2)若不等式g(2x)-ko4x≥0在x∈[1,+∞)上恒成立,求实数k的取值范围;
(3)若函数 有三个零点,求实数k的取值范围.
79.a时,求函数f(x)的调区间;
知函数f(x=- x3+ x2-2x(R).
若过点 可作函数=(x)象的三条不同切线,数a取值范围.
80.不等式f(x)≤3的集{x-1x≤5},求数a的值;
在件下,若f(x)+(x+5)≥m对一切实恒成立,求实m的范围.
81.已知定义域为R的函数 是奇函数。
(1)求a,b的值;
(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围。
82.a∈(0,3)求函数y=(x)在∈[12]上的最大;
已知函数f(x)=x|x-|1(x∈.
对于给定的数a,一个最的正,x∈[0,M]时,都有|fx)|≤2试求出个正数M,求它的值范围.
【答案】
1.解:(1)由题意:函数f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)=
∴函数f(x)的定义域满足: ,解得:-2<x<2
故函数f(x)的定义域为(-2,2).
(2)∵函数g(x)=10f(x)+2x,
∴g(x)= +2x= = ,(-2<x<2)
∵ ,即 ,当且仅当x=1时取等号.
根据勾勾函数的性质:可得:函数g(x)在(-2,1)时,是增函数,(1,2)时,是减函数.
故得g(x)∈(- ,7].
所以函数g(x)的值域为(- ,7].
2.解:(1)由题设,令x=y=0,
恒等式可变为f(0+0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0,
(2)令y=-x,则由f(x+y)=f(x)+f(y)得
f(0)=0=f(x)+f(-x),即得f(-x)=-f(x),
故f(x)是奇函数
(3)由 f(x2)-f(x)> f(3x),
f(x2)-f(3x)>2f(x),
即f(x2)+f(-3x)>2f(x),
又由已知f(x+y)=f(x)+f(y).
得:f[2(x)]=2f(x)
∴f(x2-3x)>f(2x),
由函数f(x)是增函数,不等式转化为x2-3x>2x.即x2-5x>0,
∴不等式的解集{x|x<0或x>5}.
3.解:(1)由 得 ,即-1≤x≤1,即函数的定义域[-1,1].平方得 ,
∴t2∈[2,4],
∵t≥0,
∴ ,
∴t的取值范围是 .-----------(4分)
(2)由(1)知 ,
∴ , .-----------(6分)
(3) 的对称轴为 .
①当 即 时, ;
②当 即 时, ;
③当 即 时,g(a)=h(2)=a+2.
综上可得,函数f(x)的最大值为 .---(12分)
4.解:(1)当x∈(0,e]时,-x∈[-e,0),
则f(-x)=a(-x)-lnx,
又f(x)是奇函数,故f(x)=-f(-x)=ax+lnx,
故f(x)= ;
(2)当x∈(0,e]时,f(x)=ax+lnx,
f′(x)=a+ = ,
①当a≥0时,f′(x)>0,f(x)在区间(0,e]递增,
故函数f(x)在区间(0,e]上的最大值是f(e)=ae+1=2,
故a= >0满足题意;
②当- ≥e,即- ≤a<0时,f′(x)=a+ ≥- + ≥- + =0,
故f(x)在(0,e]递增,
此时f(x)在区间(0,e]的最大值是f(e)=ae+1=2,
则a= >0,不满足条件= ≤a<0;
③当a<- 时,可得f(x)在区间(0,- ]递增,在区间[- ,e]递减,
故x=- 时,f(x)max=f(- )=-1+ln(- ),
令f(- )=2,得a=- >0 ,不满足条件,
综上a= 时,函数f(x)在区间(0,e]上的最大值是2.
5.解:(1)由题意得: >0,
解得:-1<x<1,
故函数的定义域是(-1,1);
(2)若函数f(x)<0,
即 <0,
即0< <1,
解得:0<x<1.
6.解:(Ⅰ)由f(-2)=3,f(-1)=f(1)得 ,
解得a=-1,b=1
所以f(x)= ,
从而f(f(-2))=f(-(-2)+1)=f(3)=23=8;
(Ⅱ)"描点法"作图:1°列表:
x -2 -1 0 1 2
f(x) 3 2 1 2 4
2°描点;3°连线
f(x)的图象如右图所示:
7.解:(Ⅰ)由已知该长方体形水箱高为x米,底面矩形长为(2-2x)米,宽(1-2x)米.
∴该水箱容积为f(x)=(2-2x)(1-2x)x=4x3-6x2+2x.…(4分)
其中正数x满足 ∴0<x< .
∴所求函数f(x)定义域为{x|0<x< }.…(6分)
(Ⅱ)由f(x)≤4x3,得x≤0或x≥ ,
∵定义域为{x|0<x< },∴ ≤x< .…(8分)
此时的底面积为S(x)=(2-2x)(1-2x)=4x2-6x+2(x∈[ , )).
由S(x)=4(x- )2- ,…(10分)
可知S(x)在[ , )上是单调减函数,
∴x= .
即要使水箱容积不大于4x3立方米的同时,又使得底面积最大的x是 .…(12分)
8.解:(1)根据题意,二次函数f(x)的对称轴为x= =2,
顶点坐标为(2,1);
设函数f(x)=a(x-2)2+1,
则f(0)=a×(-2)2+1=3,解得a= ,
所以f(x)= (x-2)2+1;
(2)二次函数f(x)的对称轴是x=2,
在对称轴的同侧,f(x)单调性相同,
当f(x)在区间[2a,3a+1]上单调时,
2a≥2或3a+1≤2,
解得a≥1或a≤ ,
所以a的取值范围是a≤ 或a≥1.
9.解:(1)f(-1)=f(1)=2-1=1.
(2)证明:设a>b>0,f(a)-f(b)=( -1)-( -1)= ,
由a>b>0知, <0,∴f(a)<f(b),∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.
(3)设x<0,则-x>0,∴f(-x)= -1=f(x),
∴f(x)= -1,即当x<0时,函数的解析式为f(x)= -1.
10.解:(1)∵对任意x1,x2(0,+∞),都有f(x1ox2)=f(x1)+f(x2),
令x1=x2=1,
f(1o1)=f(1)+f(1),
则f(1)=0(2分)
(2)设x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,
∵对任意x1,x2(0,+∞),都有f(x1ox2)=f(x1)+f(x2),
∴则f(x1)-f(x2)=f( )
∵0<x1<x2,
∴0< <1,又当x∈(0,1)时,f(x)<0,∴f(x1)-f(x2)= ,
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数(7分)
(3)令x1=x2=4,则f(16)=f(4)+f(4)=2,
令x1=4,x2=16,则f(64)=f(4)+f(16)=3,(9分)
∴f(3x+1)+f(2x-6)≤3=f(64)
结合f(x)的定义域为(0,+∞),f(x1ox2)=f(x1)+f(x2)恒成立
∴
∴x∈(3,5](12分)
11.解:(1)∵f(x)=cosx+sinx,a= ;
∴f(x+a)=cosx-sinx;
∴g(x)=f(x)of(x+a)=cos2x;
由π+2kπ≤x≤2π+2kπ,k∈Z;
得:递增区间为[ π+kπ,π+kπ],(k∈Z);
(2)∵g(x)=f(x)of(x+a)
=(2x+ )(2x+a+ )
=(2x+ )(2xo2a+ )
=2a(2x)2+ +2a+ ≥2a+ +2=6;
(当且仅当2a(2x)2=1时,等号成立);
故2a=2± ;
故a= .
12.解:(1)∵函数f(x)=xm- ,且f(4)=3,
∴4m-1=3,∴m=1;
(2)∵f(x)=x- ,
∴f(-x)=-x+ =-f(x),
∴f(x)是奇函数.
13.解:(I) f(0)=1, ;
(II)这个函数当x=0时,函数取得最大值1,
当自变量x的绝对值逐渐变大时,函数值逐渐变小并趋向于0,但永远不会等于0,
于是可知这个函数的值域为集合 .
14.解:(Ⅰ)由题意可设每天多卖出的件数为k(x2+x),
∴36=k(32+3),
∴k=3.
又每件商品的利润为(20-9-x)元,每天卖出的商品件数为69+3(x2+x).
∴该商品一天的销售利润为
f(x)=(11-x)[69+3(x2+x)]=-3x3+30x2-36x+759(0≤x≤11).
(Ⅱ)由f′(x)=-9x2+60x-36=-3(3x-2)(x-6).
令f′(x)=0可得 或x=6.
当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
x 0 6 (6,11) 11
f′(x) - 0 + 0 -
f(x) 759 ↘ 极小值 ↗ 极大值975 ↘ 0
∴当商品售价为14元时,一天销售利润最大,最大值为975元
15.解:当a= 时,求( )= ,故ff( ))=( )2(1- )=
得A( , )B( , )
则=S△OCB-S△A= × 所以s′= × ,
为f( )= = ≠ ,
≤x≤a2时,由 =,解得=0因为f(0)=0,故x=0不函数二周期点;
此函数有两个二阶周点,x= x2=
ff(x))=
因a∈( ),有a2+<1所s′= × = >0或令=3-a2-2a+2利用导证明其符号正亦可)
s在区[ , 上是增函数,
故x= 是函数的二阶期;
故s区间[ , ]的最小值s( )= ,大值为s( )=
16.解:(1)当0<t≤1时,
如图,设直线x=t与△OAB分别交于C、D两点,则|OC|=t,
又 ,∴ ,
∴
(2)当1<t≤2时,
如图,设直线x=t与△OAB分别交于M、N两点,则|AN|=2-t,
又 ,∴
∴
(3)当t>2时,
综上所述
17.解(1)由 ,解得1<x<3.
∴函数?(x)的定义域为{x|1<x<3};
(2)不等式f(x)≤g(x),即为loga(x-1)≤loga(6-2x),
②当a>1时,不等式等价于 ,解得: ;
②当0<a<1时,不等式等价于 ,解得: .
综上可得,当a>1时,不等式的解集为(1, ];
当0<a<1,不等式的解集为[ ).
18.解:(1)设表示前20天每股的交易价格P(元)与时间t(天)的一次函数关系式为P=k1t+m,
由图象得: ,解得: ,即P= t+2; …(3分)
设表示第20天至第30天每股的交易价格P(元)与时间t(天)的一次函数关系式为P=k2t+n,
即P=- t+8.…(6分)
综上知P= (t∈N).…(7分)
(2)由(1)可得y= .
即y= (t∈N).…(10分)
当0≤t<20时,函数y=- t2+6t+80的图象的对称轴为直线t=15,
∴当t=15时,ymax=125;
当20≤t≤30时,函数y= t2-12t+320的图象的对称轴为直线t=60,
∴该函数在[20,30]上单调递减,即当t=20时,ymax=120.
而125>120,
∴第15天日交易额最大,最大值为125万元. …(13分)
19.解:(1)由题意,f(0)=0,
当x>0时,-x<0,
f(x)=-f(-x)=-(1+2-x)
故f(x)= ;
(2)作函数f(x)的图象如下, ;
(3)函数f(x)单调增区间为(-∞,0),(0,+∞),
其值域为(-2,-1)∪{0}∪(1,2).
20.解:(1) ,
x2-(2a+1)x+a2+a≥0?x≥a+1或x≤a
∴A=(-∞,-1]∪(2,+∞),B=(-∞,a]∪[a+1,+∞)…(6分)
(2) …(12分)
21.(1)解:∵f(x)对任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=2,
∴ ,∴ ,
令 ,∴ ;
(2)证明:f(x)对任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=2,
则令 ,
∵an=f(0)+f( )+f( )+…+f( )+f(1),
∴an=f(1)+f( )+f( )+…+f( )+f(0),
∴2an=[f(0)+f(1)]+[f( )+f( )]+…+[f( )+f( )]+[f(1)+f(0)],
∴2an=2(n+1)(n∈N*)
∴an=n+1(n∈N*)
∴an+1-an=(n+2)-(n+1)=1(n∈N*),
∴{an}是等差数列.
(3)解:由(2)有
∴
∴Tn=b12+b22+b32+…+bn2<2[(1- )+( - )+…+( - )]
=2(1- )= =Sn
∴Tn<Sn
22.(1)解:令t=0,则f(x0)=0of(x)=0,即f(1)=0;
由f( )=2,则f( )=2f( )=4;
(2)证明:设0<a<1,由于x,y>0,存在m,n,使x=am,y=an,
f(xy)=f(aman)=f(am+n)=(m+n)f(a),
f(x)+f(y)=f(am)+f(an)=mf(a)+nf(a)=(m+n)f(a).
则有f(xy)=f(x)+f(y);
(3)解:先证f(x)在x>0上递减.
由于f(x)=f( )= of( )=2 ,则f(x)在x>0上递减.
再求a的取值范围,a>0,a≠1,
又不等式f(loga(x-3a)-1)-f(- )≥-4对x∈[a+2,a+ ]恒成立,
则x-3a>0,x-a>0,对x∈[a+2,a+ ]恒成立,a+2-3a>0,且a+2-a>0,
则0<a<1,在x>0上,loga(x-3a)-1>0,即x-3a<a,对x∈[a+2,a+ ]恒成立,
则有a+ <4a,解得,a> ;
-loga >0,即x-a>1,对x∈[a+2,a+ ]恒成立,a+2-a>1恒成立.
由(2)中令x= ,y=4,则f(1)=f( )+f(4),f(4)=-4,
f(loga(x-3a)-1)≥f(4)+f(- loga(x-a))=f(-loga(x-a)),
由于f(x)在x>0上递减,则loga(x-3a)+loga(x-a)≤1,等价为loga(x2-4ax+3a2)≤1.
由0<a<1,则x=2a在[a+2,a+ ]的左侧,
令g(x)=loga(x2-4ax+3a2),g(x)在[a+2,a+ ]递减,
g(x)max=g(a+2)≤1,即loga(4-4a)≤1,即4-4a≥a,
解得,a .
综上,可得, <a≤ .
23.(1)因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)
而当x∈ 时,f(x)=sinx,所以x 时, ,
f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sinx.
又当x 时,x+π∈ ,
因为f(x)的周期为π,所以f(x)=f(π+x)=sin(π+x)=-sinx.
所以当x∈[-π,0]时f(x)=-sinx.
(2)函数图象如图,
(3)由于f(x)的最小正周期为π,
因此先在[-π,0]上来研究 ,即 .
所以 .所以, .
由周期性知,当 时, (k∈Z).
所以,当 时,x的取值范围是 (k∈Z).
24.解:(1)由条件可得f(x+1)=ax2+1;
∴f(x)=a(x-1)2+1;
由f(0)=a+1=2得a=1;
∴f(x)=(x-1)2+1;
(2)①当k+1<1,即k<0时,最小值g(k)=f(k+1)=k2+1;
②当k>1时,最小值g(k)=f(k)=(k-1)2+1;
③当0≤k≤1时,最小值g(k)=f(1)=1;
综上g(k)= .
25.解:(Ⅰ)当a=2时,f(x)=x|x-2|= ,作出图象,
由图可知,函数y=f(x)的单调递增区间为(-∞,1],[2,+∞);
(Ⅱ)当a=-2时,f(x)=x|x+2|= ,
∵f(-1- )=- -2(-1- )=-1,f(-1)=(-1)2+2×(-1)=-1,f(2)=4+4=8,
∴函数y=f(x)在区间 的值域为[-1,8];
(Ⅲ)∵a≠0,f(x)=x|x-a|= ,函数f(x)有两个零点:0和a,
若a>0,在(-∞, )上单调递增,在( ,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.
为使在区间(m,n)上既有最大值又有最小值,必须0≤m< ,n≤ a.
若a<0,在(-∞,a)上单调递增,在(a, )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增.
为使在区间(m,n)上既有最大值又有最小值,必须m≥ a,n≤0.
26.解:(1)设函数g(x)的图象上任一点P(x,y),且P关于A(2,1)的对称点P'(x',y');
则 ,解得 ;
∵点P'在函数f(x)=x+ 的图象上,∴2-y=(4-x)+ ,
∴y=2-(4-x)- =x-2+ ,
即g(x)=x-2+ ,(x≠4);
(2)当x-4>0时,即x>4,(x-4)+ ≥2,当且仅当x=5时取"=";
此时g(x)取到最小值4,
∵直线y=b与C2只有一个公共点,∴b=4,且交点坐标是(5,4);
当x-4<0时,即x<4,-[(x-4)+ ]≥2,即(x-4)+ ≤-2,
此时g(x)取到最大值0,当且仅当x=3时取"=";
∵直线y=b与C2只有一个公共点,∴b=0,且交点坐标是(3,0);
综上,b的值及交点坐标分别为4,(5,4)或0,(3,0).
27.解:(1)令m=n=0,
∴f(0)=f(0)f(0),0<f(0)<1,
∴f(0)=1;
(2)设m=x<0,n=-x>0,f(-x)∈(0,1)
∴f(m+n)=f(m)f(n)=f(0)=1,
∴f(m)>1,即当x<0时f(x)>1 …(4分)
故f(x)>0在R上恒成立;
(3)?x1<x2∈R,则x2-x1>0,0<f(x2-x1)<1,f(x1)>0,
f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)
=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)
=f(x1)[f(x2-x1)-1]<0
∴f(x)在R 上单调递减.
(4)f(x+ax)>f(2+x2)恒成立,
∴x+ax<2+x2恒成立,
∴a< +x-1,
令g(x)= +x,知当x>0时,g(x)≥2 ,
∴a<2 -1.
28.解:(1)由题意可得 ,
即有 ,由p>-1,可得-p<1,
即有-p<x<1,则函数的定义域为(-p,1);
(2)f(x)=lg(1-x)+lg(1+x)=lg(1-x2),(-a<x≤a),
令t=1-x2,(-a<x≤a),y=lgt,为递增函数.
由t的范围是[1-a2,1],
当x=a时,y=lgt取得最小值lg(1-a2),
故存在x=a,函数f(x)取得最小值,且为lg(1-a2).
29.解:(Ⅰ)根据题意,OA=12,OB=18,
由截距式方程得:边AB所在的直线的方程为 ,
即 ;
(Ⅱ)设点P的坐标为(x,y),
则 .
公寓占地面积为S=(60-x)(48-y)
=(60-x)[48-(12- x)]
=(60-x)(36+ x)=- x2+4x+2160
=- (x-3)2+2166,
当x=3时,Smax=2166,
这时 .
故点P的坐标为(3,10)时,
才能使公寓占地面积最大,最大面积为2166m2.
30.解:(1)a=-1时,2x-4x>0,2x(2x-1)<0
∴0<2x<1∴x<0,定义域为(-∞,0),
(2)由题1+2x+a(4x+1)>0对一切x∈(-∞,1]恒成立
令t=2x+1∈(1,3]
在 上单减,在 上单增
∴ ∴ ,
(3) 时, ,
记
令n=2x∈[1,2], ,
在[1,2]上单调递减
∴ ,
∴-2≤log2g(n)≤0,
∵图象无交点,∴b<-2或b>0,
31.解:(I)∵f(x)是定义在R上的偶函数,x≤0时,f(x)=log (-x+1),
∴f(3)+f(-1)=f(-3)+f(-1)=log 4+log 2=-2-1=-3;
(II)令x>0,则-x<0,f(-x)=log (x+1)=f(x)
∴x>0时,f(x)=log (x+1),
则f(x)= .
(Ⅲ)∵f(x)=log (-x+1)在(-∞,0]上为增函数,
∴f(x)在(0,+∞)上为减函数
∵f(a-1)<-1=f(1)
∴|a-1|>1,
∴a>2或a<0
32.解:(1)∵f(xoy)=f(x)+f(y),f(2)=1,
∴f(2)=f(2×1)=f(2)+f(1),
∴f(1)=0.
(2)∵f(x)在定义域(0,+∞)上单调递减,
且满足f(xoy)=f(x)+f(y),f(2)=1,
∴f(-x)+f(3-x)=f(x2-3x)≥2=f(4).
∴ ,解得-1≤x<0.
∴不等式f(-x)+f(3-x)≥2的解集为[-1,0).
33.解:(1)当x∈[3,6]时,f(x)为二次函数,
且f(x)≤f(5),f(6)=2,
设f(x)=ax2+bx+c,
则有 ,解得 ;
∴f(x)=-x2+10x-22,∴f(3)=-1,
又∵f(x)为奇函数,且在[0,3]上的一次函数,f(3)=-1,
∴ ,当x∈[-6,-3]时,-x∈[3,6],
∴f(-x)=-x2-10x-22,
∵f(x)为[-6,6]上的奇函数,
∴f(x)=-f(-x)=x2+10x+22.
综上所述,f(x)= ;
(2)当-6≤x≤-3时,f(x)=(x+5)2-3,
当x=-5时,f(x)的最小值为-3;
x=-3时,f(-3)=1,即有f(x)∈[-3,1];
当-3<x<3时,f(x)∈(-1,1);
当3≤x≤6时,f(x)=-(x-5)2+3,
f(x)∈[-1,3].
即有y=f(x)的值域为[-3,3],
故f(x)-a2-4a≥0恒成立,
即a2+4a+3≤0,
解得-3≤a≤-1,
综上:若f(x)-a2-4a≥0恒成立,求a的取值范围为{a|-3≤a≤-1}.
34.解:( I)取x=0,得f(0+y)=f(0)+f(y),
即f(y)=f(0)+f(y),∴f(0)=0,
∵f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)
∴结合f(3)=6,得3f(1)=6,可得f(1)=2;
(II)取y=-x,得f(0)=f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)=0
移项得f(-x)=-f(x)
∴函数f(x)是奇函数;
(III)∵f(x)是奇函数,且f(kx2)+f(2x-1)<0在 上恒成立,
∴f(kx2)<f(1-2x)在 上恒成立,
又∵f(x)是定义域在R的单调函数,且f(0)=0<f(1)=2,
∴f(x)是定义域在R上的增函数.
∴kx2<1-2x在 上恒成立.
∴ 在 上恒成立.
令 ,
由于 ,∴ .
∴g(x)min=g(1)=-1.∴k<-1.
则实数k的取值范围为(-∞,-1).
35.解:(1)因为f(xy)=f(x)+f(y),
所以,令x=y=1代入得,
f(1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0,
即f(1)的值为0;
(2)因为f(3)+f( )=f(3× )=f(1)=0,
且f( )=-1,所以,f(3)=1,
所以,f(3)+f(3)=f(9)=2,
因此,不等式f(x)-f( )≥2可化为:
f(x)≥f( )+f(9)=f( ),
再根据函数f(x)是定义在(0,+∞)上单调递增,
所以, ,解得,x≥1+ ,
故原不等式的解集为:[1+ ,+∞).
36.解:(1)依据题意得:当0<x≤2时,S= o2ox=x,
当2<x≤4时,S= o2o2=2,当4<x≤6时,S= o2o(6-x)=6-x,
∴ ,
定义域是(0,6),值域是(0,2).
(2)∵f(3)=2,f(2)=2
∴f[f(3)]=f(2)=2.
37.解:(1)令x=0,y= 得f( )+f(- )=2f(0)cos =0,∴f(- )=-2.
(2)令 ,得 ,
令 ,得 ,
两式相加: ,
令x=0,y=x得f(x)+f(-x)=2f(0)cosx=2cosx,
∴ ,∴ ,
∴ =2sin(x+ )+cos(x+ ),
∴f(x)=cosx+2sinx.
∴
= (i)
∵ ,∴ ,
∴(i) .当且仅当 时取等号,此时 .
∴ .
38.解:(1)由图象的平移,h(x)=2|x-1|+1
(2)解:函数y=h(x)的图象与函数g(x)=kx2的图象在 上至少 有一个交点,等价于h(x)-g(x)=0在 上有解,
即2|x-1|+1-kx2=0在 上有解,
解法一:用分离参数处理:kx2=2|x-1|+1在 上有解, 在 上有解,
等价于 在x∈[1,3]上有解或者 在 上有解,
因为
综上, .
解法二:用实根分布:
原题等价于kx2-2(x-1)-1=0在x∈[1,3]上有解或者kx2-2(1-x)-1=0在 上有解,
(1)kx2-2(x-1)-1=0在x∈[1,3]上有解
令g(x)=kx2-2(x-1)-1,k=0时显然无解.
当k<0时, (舍)
当k>0, 或者
所以
(2)kx2-2(1-x)-1=0在 上有解:
令h(x)=kx2+2x-3,k=0时显然无解.
当k>0时, ,所以1≤k≤8
当k<0时, (舍)或者
所以1≤k≤8
综上, .
39.解:(1)证明:设x1>x2(x1,x2∈R),则x1-x2>0,又当x>0时,f(x)>1,
所以f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-1-f(x2)=f(x1-x2)-1>1-1=0,
所以f(x1)>f(x2),
故f(x)为R上的增函数;
(2)因为f(x)为R上的增函数,由 ,
∴f[(1+x) ]>f(x2-1),
∴(1+x) >x2-1,对 恒成立
令t= ,则t∈[ , ],
原式等价于(1+x)t>x2-1,t∈[ , ]恒成立,
令g(t)=(1+x)t-x2+1,要使得 时恒成立,
只需要 ,
解得-1<x< .
40.解:(1)m的最大值为 .
首先当m= 时,取x0= ,则f(x0)=f( )=1,f(x0+m)=f( )=f(1)=1
所以函数f(x)具有性质P( ) (3分)
假设存在 <m<1,使得函数f(x)具有性质P(m),则0<1-m< .
当x0=0时,x0+m∈ ,f(x0)=1,f(x0+m)>1,f(x0)≠f(x0+m);
当x0∈(0,1-m]时,x0+m∈( ,1],f(x0)<1,f(x0+m)≥1,f(x0)≠f(x0+m);
所以不存在x0∈(0,1-m],使得f(x0)=f(x0+m),
所以,m的最大值为 . …(7分)
(2)证明:任取k∈N*且k≥2
设g(x)=f(x+ )-f(x),其中x∈[0, ],则有g(0)=f( )-f(0)
g( )=f( )-f( )
…
g( )=f( )-f( )
…
g( )=f(1)-f( )
以上各式相加得:g(0)+g( )+…+g( )+…+g( )=f(1)-f(0)=0
当g(0)、g( )、…、g( )中有一个为0时,不妨设为g( )=0,i∈{0,1,…,k-1},
即g( )=f( + )-f( )=0,则函数f(x)具有性质P( );
当g(0)、g( )、…、g( )均不为0时,由于其和为0,则必然存在正数和负数,
不妨设g( )>0,g( )<0,其中i≠j,i,j∈{0,1,…,k-1},
由于g(x)是连续的,所以当j>i时,至少存在一个 (当j<i时,至少存在一个 )
使得g(x0)=0,
即g(x0)=f( )-f(x0)=0
所以,函数f(x)具有性质P( ) …(12分)
41.解:(1)若a= ,b= ,c= ,
则f(a)=f(b)=sin = ,f(c)=sin =1,
则f(a)+f(b)= =1,不满足f(a)+f(b)>f(c)
故f(x)=sinx,不是"保三角形函数".
(2)对任意一个三角形三边长a,b,c∈[2,+∞),且a+b>c,b+c>a,c+a>b,
则h(a)=lna,h(b)=lnb,h(c)=lnc.
因为a≥2,b≥2,a+b>c,所以(a-1)(b-1)≥1,所以ab≥a+b>c,所以lnab>lnc,
即lna+lnb>lnc.
同理可证明lnb+lnc>lna,lnc+lna>lnb.
所以lna,lnb,lnc是一个三角形的三边长.
故函数h(x)=lnx (x∈[2,+∞)).
(3)λ的最大值是 .
①当λ> 时,取a= =b,c= ,显然这3个数属于区间(0,λ),且可以作为某个三角形的三边长,
但这3个数的正弦值 、 、1显然不能作为任何一个三角形的三边,故此时,h(x)=sinx,x∈(0,λ)不是保三角形函数.
②当λ= 时,对于任意的三角形的三边长a、b、c∈(0, ),
若a+b+c≥2π,则a≥2π-b-c>2π- - = ,
即a> ,同理可得b> ,c> ,∴a、b、c∈( , ),
∴sina、sinb、sinc∈( ,1].
由此可得sina+sinb> + =1≥sinc,即sina+sinb>sinc,同理可得sina+sinc>sinb,sinb+sinc>sina,
故sina、sinb、sinc 可以作为一个三角形的三边长.
若a+b+c<2π,则 + <π,
当 ≤ 时,由于a+b>c,∴0< < ≤ ,∴0<sin <sin ≤1.
当 > 时,由于a+b>c,∴0< < < ,∴0<sin <sin <1.
综上可得,0<sin <sin ≤1.
再由|a-b|<c< ,以及y=cosx在( 0,π)上是减函数,可得cos =cos >cos >cos >0,
∴sina+sinb=2sin cos >2sin cos =sinc,同理可得sina+sinc>sinb,sinb+sinc>sina,
故sina、sinb、sinc 可以作为一个三角形的三边长.
故当λ= 时,h(x)=sinx,x∈(0,M)是保三角形函数,故λ的最大值为 ,
42.解:(1)∵ ,
∴t2=2+2 ,∴ ;
∴y=m(t)=a( t2-1)+t= , .
(2)∵a≠0时直线 是抛物线m(t)= 的对称轴,
∴可分以下几种情况进行讨论:
①当a>0时,函数y=m(t), 的图象是开口向上的抛物线的一段,
由 知m(t)在 上单调递增,故g(a)=m(2)=a+2;
②当a=0时,m(t)=t, ,有g(a)=2;
③当a<0时,函数y=m(t), 的图象是开口向下的抛物线的一段,
若 即 时,g(a)= ,
若 即 时,g(a)= ,
若 ∈(2,+∞)即 时,g(a)=m(2)=a+2.
综上所述,有g(a)= .
(3)①当- ≤a≤- 时,- ≤ ≤- ,此时g(a)=g( )= ,∴- ≤a≤- ;
②当- <a≤- 时,-2≤ <- ,此时g(a)=-a- ,g( )= ,
由-a- = 得a=- ,与a>- 矛盾,舍去;
③当- <a<0时, <-2,此时g(a)=a+2,g( )= ,
由a+2= 得a= -2,与a>- 矛盾,舍去;
④当a>0时, >0,此时g(a)=a+2,g( )= +2,
由a+2= +2得a=±1,又∵a>0,∴a=1;
综上所述,满足 的所有实数a为: 或a=1.
43.解:过A,D分别作AG⊥BC于G,DH⊥BC于H,
∵ABCD是等腰梯形,底角45°,AB= cm,
∴BG=AG=DH=HC=2cm,又BC=7cm,∴AD=GH=3cm,
(1)当点F在BG上,即x∈(0,2]时,y= ,
(2)当点F在GH上,即x∈(2,5]时,y=2+2(x-2)=2x-2,
(3)当点F在HC上,即x∈(5,7)时,y= =- ,
∴函数的解析式为y=
作图如右:
44.解:(Ⅰ)函数定义域为R,f′(x)=
①当m+1=1,即m=0时,f′(x)≥0,此时f(x)在R递增,
②当1<m+1<3即0<m<2
x∈(-∞,1)时,f′(x)>0,f(x)递增,
x∈(1,m+1)时,f′(x)<0,f(x)递减,
x∈(m+1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)递增;
③0<m+1<1,即-1<m<0时,
x∈(-∞,m+1)和(1,+∞),f′(x)>0,f(x)递增,
x∈(m+1,1)时,f′(x)<0,f(x)递减;
综上所述,①m=0时,f(x)在R递增,
②0<m<2时,f(x)在(-∞,1),(m+1,+∞)递增,在(1,m+1)递减,
③-2<m<0时,f(x)在(-∞,m+1),(1,+∞)递增,在(m+1,1)递减;
(Ⅱ)当m∈(0, ]时,由(1)知f(x)在(0,1)递增,在(1,m+1)递减,
令g(x)=x,
①当x∈[0,1]时,f(x)min=f(0)=1,g(x)max=1,
所以函数f(x)图象在g(x)图象上方;
②当x∈[1,m+1]时,函数f(x)单调递减,
所以其最小值为f(m+1)= ,g(x)最大值为m+1,
所以下面判断f(m+1)与m+1的大小,
即判断ex与(1+x)x的大小,其中x=m+1∈(1, ],
令m(x)=ex-(1+x)x,m′(x)=ex-2x-1,
令h(x)=m′(x),则h′(x)=ex-2,
因x=m+1∈(1, ],所以h′(x)=ex-2>0,m′(x)单调递增;
所以m′(1)=e-3<0,m′( )= -4>0,
故存在x0∈(1, ]使得m′(x0)=ex0-2x0-1=0,
所以m(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0, )单调递增
所以m(x)≥m(x0)=ex0-x02-x0=2x0+1- -x0=- +x0+1,
所以x0∈(1, ]时,m(x0)=- +x0+1>0,
即ex>(1+x)x也即f(m+1)>m+1,
所以函数f(x)的图象总在直线y=x上方.
45.解:(1)要使函数 的解析式有意义
自变量应满足x≠0
故f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)
由于 ≠0,则 -2≠-2
故f(x)的值域为(-∞,-2)∪(-2,+∞)
(2)任取区间(0,+∞)上两个任意的实数x1,x2,且x1<x2,
则x1>0,x2>0,x2-x1>0,
则f(x1)-f(x2)=( )-( )= - = >0
即f(x1)>f(x2)
故函数 在(0,+∞)上是减函数
46.解:(Ⅰ)f(x)的定义域是(0,+∞),
f′(x)=2ax-(a+2)+ = ,a≤2,
①a≤0时,ax-1<0,
令f′(x)>0,即2x-1<0,解得:0<x< ,
令f′(x)<0,解得:x> ,
故f(x)在(0, )递增,在( ,+∞)递减;
②0<a<2时,x= < ,
令f′(x)>0,解得:x> 或x< ,
令f′(x)<0,解得: <x< ,
故f(x)在(0, )递增,在( , )递减,在( ,+∞)递增;
③a=2时,f′(x)≥0,f(x)在(0,+∞)递增;
(Ⅱ)由(Ⅰ)①a≤0时,f(x)在[1,2]递减,
f(x)min=f(2)=2a-2+ln2≥0,解得:a≥1-2ln2,
故1-2ln2≤a≤0;
②0<a≤ 时, ≥2,f(x)在[1,2]递减
f(x)min=f(2)=2a-2+ln2≥0,解得:a≥1-2ln2,
故0<a≤ ;
③ <a<1时,1< <2,
故f(x)在[1, )递减,在( ,2]递增,
故f(x)min=f( )=1- -lna≥0,
令g(a)=1- -lna,a∈( ,1),
g′(a)= - = >0,
故g(a)在( ,1)递增,
g(a)<g(1)=0,
故1< <2时,不合题意;
④a≥1时, ≤1,
故f(x)在[1,2]递增,f(x)min=f(1)=0,
故a≥1,
综上,1-2ln2≤a≤ 或a≥1.
47.解:(1)a2-3a+3=1,可得a=2或a=1(舍去),
∴f(x)=2x;
(2)F(x)=2x-2-x,∴F(-x)=-F(x),
∴F(x)是奇函数;
(3)不等式:log2(1-x)>log2(x+2),即1-x>x+2>0,∴-2<x<- ,
解集为{x|-2<x<- }.
48.证明:根据题意,设x1>x2>0,
f(x1)-f(x2)=(- -1)-(- -1)= - = ,
又由x1>x2>0,则x1-x2>0且x1ox2>0,
则有f(x1)-f(x2)= >0,
即f(x1)>f(x2),
故函数 在区间(0,+∞)上是增函数.
49.解:(1)f(x)=x2-4x-4=(x-2)2-8,
当t>2时,f(x)在[t,t+1]上是增函数,
∴g(t)=f(t)=t2-4t-4;
当t≤2≤t+1,即1≤t≤2时,
g(t)=f(2)=-8;
当t+1<2,即t<1时,f(x)在[t,t+1]上是减函数,
∴g(t)=f(t+1)=t2-2t-7;
从而g(t)= ;
(2)当t<1时,t2-2t-7>-8,
当t>2时,t2-4t-4>-8;
故g(t)的最小值为-8.
50.解:(1)若a=-1,则f(x)=|x+1|-|x-3|,
若x≥3,由f(x)≥2,
得(x+1)-(x-3)≥2不等式显然成立,
若-1≤x<3,由f(x)≥2,
得(x+1)+(x-3)≥2,解得x≥2.
又-1≤x<3,∴2≤x<3.
若x<-1,由f(x)≥2,
得-(x+1)+(x-3)≥2不等式不成立.
∴不等式f(x)≥2的解集为{x|x≥2}.
综上所述,不等式f(x)≥2的解集为{x|x≥2};
(2)不等式 即|x-a|-|x-3| .
|x-a|-|x-3|≥-|(x-a)-(x-3)|=-|a-3|,
若a>3,等号成立当且仅当x≥3,
若a=3,等号成立当且仅当x∈R,
若a<3,等号成立当且仅当x≤3.
∴-|a-3| ,即|a-3| ,
若a≥3,则(a-3) ,解得a≥6.
若a<3,则-(a-3) ,解得a≤2.
∴a的取值范围是(-∞,2]∪[6,+∞).
综上所述,a的取值范围是(-∞,2]∪[6,+∞).
51.解:(1)设x2-1=t(t≥-1),则 ,
∴ ,
设x∈(-1,1),则-x∈(-1,1),
∴ ,
∴f(x)为奇函数;
(2)由 可知,当m>1时, ,
解得:-1<x≤0;
当0<m<1时, ,
解得0≤x<1;
当m>1时,不等式组的解集为{x|-1<x≤0},
当0<m<1时,不等式组的解集为{x|0≤x<1}.
52.解:(1)∵f(x)是定义域为R上的奇函数,
∴f(0)=0,
∴ =0,
解得a=1,
∴f(x)= =-1+ ,
∵y=2x是R上的增函数,
∴f(x)在R上为减函数,
(2)∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(logm )+f(-1)>0
等价于f(logm )>-f(-1)=f(1),
又∵f(x)是R上的减函数,
∴logm =logmm,
∴当0<m<1时, >m,即0<m< ;
当m>1时, <m,即m>1;
综上,m的取值范围是m∈(0, )∪(1,+∞).
53.解:(1)当a=1时,|x-1|=x,即x-1=x或x-1=-x,
解得x= ;
(2)当a>0时,|x-a|-ax=0有两解,
等价于方程(x-a)2-a2x2=0在(0,+∞)上有两解,
即(a2-1)x2+2ax-a2=0在(0,+∞)上有两解,
令h(x)=(a2-1)x2+2ax-a2,
因为h(0)=-a2<0,所以 ,
故0<a<1;
同理,当a<0时,得到-1<a<0;
当a=0时,f(x)=|x|=0=g(x),显然不合题意,舍去.
综上可知实数a的取值范围是(-1,0)∪(0,1).
(3)令F(x)=f(x)og(x)
①当0<a≤1时,则F(x)=a(x2-ax),
对称轴x= ,函数在[1,2]上是增函数,
所以此时函数y=F(x)的最大值为4a-2a2.
②当1<a≤2时,F(x)= ,对称轴x= ,
所以函数y=F(x)在(1,a]上是减函数,在[a,2]上是增函数,F(1)=a2-a,F(2)=4a-2a2,
1)若F(1)<F(2),即1<a< ,此时函数y=F(x)的最大值为4a-2a2;
2)若F(1)≥F(2),即 ,此时函数y=F(x)的最大值为a2-a.
③当2<a≤4时,F(x)=-a(x2-ax)对称轴x= ,
此时F(x)max=F( )= ,
④当a>4时,对称轴x= ,此时F(x)max=F(2)=2a2-4a.
综上可知,函数y=F(x)在区间[1,2]上的最大值 .
54.(1)证明:依题意,令t(x)=f(x)-g(x),
则t(x)= -(x+1)= ,
∵t′(x)=- <0,
∴t(x)在区间[0,+∞)上单调递减,且 t(x)=0,
∴0<t(x)≤t(0)=2,
于是函数g(x)=x+1是函数f(x)= ,x∈[0,+∞)的渐近函数,
此时实数p=2;
(2)解:记t(x)=f(x)-g(x)= -ax,
则t′(x)= -a,
∵函数f(x)= ,x∈[0,+∞)的渐近函数是g(x)=ax,
∴当x∈[0,+∞)时t′(x)<0,即 <a,
令函数q(x)= ,其中x∈[0,+∞),
当x=0时,q(x)=0;
当x≠0时,q(x)= = = 在区间(0,+∞)上单调递增,
且 q(x)=1,
∴a≥1.
55.(本小题满分10分)
解:(Ⅰ)原不等式可化为: 或 或 …(3分)
解得:x<-2或x>3,
所以解集为:(-∞,-2)∪(3,+∞). …(5分)
(Ⅱ)因为|x-2|+|x+1|≥|x-2-(x+1)|=3,…(7分)
所以 f(x)≥3,当x≤-1时等号成立. 所以f(x)min=3.
又 ,
故 . …(10分)
56.解:(1)由f(1)=2,得1+m=2,m=1.
(2)f(x)在(0,+∞)上单调递减.
证明:由(1)知,f(x)=1+ ,
设0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(1+ )-(1+ )= .
因为0<x1<x2,所以x2-x1>0,x1x2>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
57.解:(1)x的取值需满足2x-1≠0,则x≠0,
即f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).
(2)由(1)知定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,
则f(-x)= + = + ,
∴f(x)+f(-x)
= + + + = + +1=-1+1=0.
∴f(-x)=-f(x),
∴函数f(x)为奇函数.
58.解:(I)根据求导法则求出f(x)的导函数f′(x)=3mx2-1,
由f(x)=mx3-x以N(1,n)为切点的切线的倾斜角为 .,
得 ,即 .
把(1,n)代入到f(x)中得: -1=n,解得n=- .
(II)令f'(x)=2x2-1=0,得 .
当 时,f'(x)=2x2-1>0;
当 时,f'(x)=2x2-1<0;
当 时,f'(x)=2x2-1>0;
又 .
因此,当x∈[-1,3]时, .
要使得不等式f(x)≤k-1993对于x∈[-1,3]恒成立,则k≥15+1993=2008.
所以,存在最小的正整数k=2008.使得不等式f(x)≤k-1993对于x∈[-1,3]恒成立.
59.解:(Ⅰ)∵ ,
当x<-1时,-x-4>2,解得x<-6,∴x<-6,
当-1≤x<2时,3x>2,解得 ,∴ ,
当x≥2时,x+4>2,解得x>-2,∴x≥2,
综上,原不等式解集为 .
(Ⅱ)由f(x)的图象和单调性易得f(x)min=f(-1)=-3,
若?x∈R,f(x)≥m恒成立,
则只需f(x)min≥m?m≤-3,
故实数m的取值范围是(-∞,-3].
60.解:(Ⅰ)a=3时,f(x)=|x-3|- x<0,
即|x-3|< x,
两边平方得:(x-3)2< x2,
解得:2<x<6,
故不等式的解集是{x|2<x<6};
(Ⅱ)f(x)-f(x+a)
=|x-a|- x-|x|+ (x+a)
=|x-a|-|x|+ ,
若对于任意的实数x,不等式f(x)-f(x+a)<a2+ 恒成立,
即|x-a|-|x|+ <a2+ 对x∈R恒成立,
即a2>|x-a|-|x|,而|x-a|-|x|≤|(x-a)-x|=|a|,
原问题等价于|a|<a2,又a>0,
∴a<a2,解得a>1.
61.解:(Ⅰ)∵|x-3|+|x-m|≥|(x-3)-(x-m)|=|m-3|
当3≤x≤m,或m≤x≤3时取等号,
令|m-3|≥2m,
∴m-3≥2m,或m-3≤-2m.
解得:m≤-3,或m≤1
∴m的最大值为1;
(Ⅱ)由(Ⅰ)a+b+c=1.
由柯西不等式:( + +1)( 4a2+9b2+c2)≥(a+b+c)2=1,
∴4a2+9b2+c2≥ ,等号当且仅当4a=9b=c,且a+b+c=1时成立.
即当且仅当a= ,b= ,c= 时,4a2+9b2+c2的最小值为 .
62.解:(1)∵ 为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
∴ ,∴a=0.
(2)函数f(x)在区间(1,+∞)上是增函数.
证明:设1<x1<x2,
则 .
∵1<x1<x2,∴x1-x2<0, ,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
∴函数f(x)在区间(1,+∞)上是增函数.
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