高中数学解析几何中求参数取值范围的方法

　　近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法：

　　一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式

　　曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.

　　例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0)

　　求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a

　　分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解.

　　解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 ?x2+x1 y2+y1

　　又∵线段AB的垂直平分线方程为

　　y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )

　　令y=0得 x0=x1+x22 ?a2-b2a2

　　又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点

　　∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a

　　∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a

　　例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OF?FQ=1,若 12 < S <2 ,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.

　　分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S的范围解题.

　　解: 依题意有

　　∴tanθ=2S

　　∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4

　　又∵0≤θ≤π

　　∴π4 <θ< p>

　　例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是 ( )

　　A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p>

　　分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.

　　解: 设Q( y024 ,y0) 由|PQ| ≥a

　　得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a) ≥0

　　∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0即a≤2+ y028 恒成立

　　又∵ y02≥0

　　而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选( B )