几个重要不等式(二)柯西不等式

　　几个重要不等式(二)柯西不等式

　　，当且仅当bi=lai(1￡i￡n)时取等号

　　柯西不等式的几种变形形式

　　1.设ai?R,bi>0(i=1,2,…,n)则，当且仅当bi=lai(1￡i￡n)时取等号

　　2.设ai,bi同号且不为零(i=1,2,…,n)，则，当且仅当b1=b2=…=bn时取等号

　　例1.已知a1,a2,a3,…,an，b1,b2,…,bn为正数，求证：

　　证明：左边=

　　例2.对实数a1,a2,…,an,求证：

　　证明：左边=

　　例3.在DABC中，设其各边长为a,b,c,外接圆半径为R，求证：

　　证明：左边3

　　例4.设a,b,c为正数，且a+b+c=1,求证：

　　证明：左边=

　　3

　　=

　　=

　　例5.若n是不小于2的正整数，试证：

　　证明：

　　所以求证式等价于

　　由柯西不等式有

　　于是：

　　又由柯西不等式有

　　<

　　例6.设x1,x2,…,xn都是正数(n32)且，求证：

　　证明：不等式左端即(1)

　　∵，取，则(2)

　　由柯西不等式有(3)

　　及

　　综合(1)、(2)、(3)、(4)式得：

　　三、排序不等式

　　设a1￡a2￡…￡an,b1￡b2￡…￡bn;r1,r2,…,rn是1,2,…,n的任一排列，则有：

　　a1bn+a2bn-1+…+anb1￡a1br1+a2br2+…+anbrn￡a1b1+a2b2+…+anbn

　　反序和￡乱序和￡同序和

　　例1.对a,b,c?R+,比较a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小

　　解：取两组数a,b,c；a2,b2,c2，则有a3+b3+c33a2b+b2c+c2a

　　例2.正实数a1,a2,…,an的任一排列为a1/,a2/,…an/，则有

　　证明：取两组数a1,a2,…,an；

　　其反序和为，原不等式的左边为乱序和，有

　　例3.已知a,b,c?R+求证：

　　证明：不妨设a3b3c>0,则>0且a123b123c12>0

　　则

　　例4.设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列，求证：

　　证明：设b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一个排列，且b1<b2<…<bn-1；

　　c1,c2,…,cn-1是a2,a3,…,an的一个排列,且c1<c2<…<cn-1

　　则且b131,b232,…,bn-13n-1；c1￡2,c2￡3,…,cn-1￡n

　　利用排序不等式有：

　　例5.设a,b,c?R+,求证：

　　证明：不妨设a3b3c,则，a23b23c2>0

　　由排序不等式有：

　　两式相加得

　　又因为：a33b33c3>0,

　　故

　　两式相加得

　　例6.切比雪不等式：若a1￡a2￡…￡an且b1￡b2￡…￡bn,则

　　a1￡a2￡…￡an且b13b23…3bn,则

　　证明：由排序不等式有：

　　a1b1+a2b2+…+anbn=a1b1+a2b2+…+anbn

　　a1b1+a2b2+…+anbn3a1b2+a2b3+…+anb1

　　a1b1+a2b2+…+anbn3a1b3+a2b4+…+anb2

　　…………………………………………

　　a1b1+a2b2+…+anbn3a1bn+a2b1+…+anbn-1

　　将以上式子相加得：

　　n(a1b1+a2b2+…+anbn)3a1(b1+b2+…+bn)+a2(b1+b2+…+bn)+…+an(b1+b2+…+bn)

　　∴