勾股定理的证明方法及常用公式

　　勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

　　1勾股定理推导：欧几里得证法

　　在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

　　在这个定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：

　　如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS）

　　三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。

　　任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。

　　任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积。

　　证明的思路为：从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，把上方的两个正方形，通过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。

　　设△ABC为一直角三角形，其直角为∠CAB。

　　其边为BC、AB和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

　　画出过点A之BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、L。

　　分别连接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

　　∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共线，同理可证B、A和H共线。

　　∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。

　　因为AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

　　因为A与K和L在同一直线上，所以四边形BDLK=2△ABD。

　　因为C

　　A和G在同一直线上，所以正方形BAGF=2△FBC。

　　因此四边形BDLK=BAGF=AB2。

　　同理可证，四边形CKLE=ACIH=AC2。

　　把这两个结果相加，AB2+AC2=BD×BK+KL×KC

　　由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

　　由于CBDE是个正方形，因此AB2+AC2=BC2，即a2+b2=c2。

　　此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的。

　　由于这个定理的证明依赖于平行公理，而且从这个定理可以推出平行公理，很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件，一直到十九世纪尝试否定第五公理的非欧几何出现。

　　2勾股定理常见知识点

　　1、过两点有且只有一条直线

　　2、两点之间线段最短

　　3、同角或等角的补角相等

　　4、同角或等角的余角相等

　　5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

　　6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

　　7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

　　8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

　　9、同位角相等，两直线平行

　　10、内错角相等，两直线平行

　　11、同旁内角互补，两直线平行

　　12、两直线平行，同位角相等

　　13、两直线平行，内错角相等

　　14、两直线平行，同旁内角互补

　　15、定理三角形两边的和大于第三边

　　16、推论三角形两边的差小于第三边

　　17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180"

　　18、推论1直角三角形的两个锐角互余

　　19、推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

　　20、推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

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